《导数的几何意义》导学案

学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．

知识点一 导数的几何意义

如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线．

思考1 割线PPn的斜率kn是多少？ 答案 割线PPn的斜率kn＝

fxn－fx0

.

xn－x0

思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？ 答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k.

梳理 (1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P处的切线．

(2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)＝Δlim x→0

fx0＋Δx－fx0

.

Δx

(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

知识点二 导函数

对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数), 即f′(x)＝y′＝Δlim x→0特别提醒

fx＋Δx－fx

. Δx

f′(x0) 区别 f′(x0)是具体的值，是数值 f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 联系 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x)

类型一 求切线方程

命题角度1 曲线在某点处的切线方程

14

例1 已知曲线C：y＝x3＋.求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．

33解 将x＝2代入曲线C的方程得y＝4， ∴切点P(2,4)． y′|x＝2＝Δlim x→0

Δy

Δx

14142＋Δx3＋－×23－3333

＝Δlim x→0Δx12]＝4， ＝Δlim[4＋2Δx＋(Δx)→x03∴k＝y′|x＝2＝4.

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.

反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤

跟踪训练1 曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________． 答案 －3 解析 ∵y′|x＝2＝Δlim x→0

Δy

Δx

2＋Δx2＋1－22－1

＝Δlim x→0Δx＝Δlim (4＋Δx)＝4， x→0∴k＝y′|x＝2＝4.

∴曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为 y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3. ∴切线与y轴交点的纵坐标是－3. 命题角度2 曲线过某点的切线方程

例2 求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．

2＋x＋1)， 解 设切点为(x0，x00

则切线的斜率为

x0＋Δx2＋x0＋Δx＋1－x20＋x0＋1k＝Δlim x→0Δx＝2x0＋1.

2

x20＋x0＋1－0x0＋x0＋1又k＝＝，

x0－－1x0＋12＋x＋1x00

∴2x0＋1＝. x0＋1

解得x0＝0或x0＝－2.

当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为 y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.

当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0. 故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.

反思与感悟 过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x0，f(x0))． y1－fx0

(2)建立方程f′(x0)＝. x1－x0

(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．

跟踪训练2 求函数y＝f(x)＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．

2解 设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x30－3x0＋x0，

∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)

2

＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－(x30－3x0＋x0) 232＝3x20Δx＋3x0(Δx)－6x0Δx＋(Δx)－3(Δx)＋Δx，

Δy2∴＝3x20＋3x0Δx－6x0＋1＋(Δx)－3Δx， Δx∴f′(x0)＝Δlim x→0

Δy

＝3x20－6x0＋1. Δx

22

∴切线方程为y－(x3(x－x0)． 0－3x0＋x0)＝(3x0－6x0＋1)·232∵切线过原点，∴x30－3x0＋x0＝3x0－6x0＋x0，

32即2x30－3x0＝0，∴x0＝0或x0＝， 2故所求切线方程为x－y＝0或5x＋4y＝0. 类型二 求切点坐标

例3 已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．

解 对于曲线y＝x2－1， k1＝Δlim x→0

Δy

＝2x0. Δx

对于曲线y＝1－x3， k2＝Δlim x→0

Δy

Δx

1－x0＋Δx3－1－x30

＝Δlim ＝－3x20. x→0Δx由题意得2x0＝－3x20， 2解得x0＝0或－.

3引申探究

1．若本例3条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值． 解 ∵k1＝2x0，k2＝3x20.

根据曲线y＝x2－1与y＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直，知2x0·(－3x20)＝－1，

3

解得x0＝

36. 6

2．若本例3条件不变，试求出两条平行的切线方程． 2

解 由例3知x0＝0或－.

3

当x0＝0时，两平行切线方程为y＝－1或y＝1.

2

当x0＝－时，曲线y＝x2－1的切线方程为12x＋9y＋13＝0.

3曲线y＝1－x3的切线方程为36x＋27y－11＝0.

∴所求两平行切线方程为y＝－1与y＝1或12x＋9y＋13＝0与36x＋27y－11＝0. 反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0)． (2)求导函数f′(x)． (3)求切线的斜率f′(x0)．

(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.

(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标．

跟踪训练3 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．

解 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)． fx＋Δx－fx

∵f′(x)＝Δlim x→0Δx

x＋Δx3－2x＋Δx2＋3－x3－2x2＋3＝Δlim x→0Δx＝3x2－4x，

由题意可知k＝4，即3x20－4x0＝4， 2

解得x0＝－或x0＝2，

3249

∴切点坐标为(－，)或(2,3)．

327

249492

当切点坐标为(－，)时，有＝4×(－)＋a，

327273121

∴a＝.

27

当切点坐标为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5.

121249

∴当a＝时，切点坐标为(－，)；当a＝－5时，切点坐标为(2,3)．

27327

类型三 导数几何意义的应用

例4 (1)已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)

2

(2)设点P是曲线y＝x3－3x＋上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围

3为________．

π2

0，∪π，π 答案 (1)k1>k3>k2 (2)23解析 (1)由导数的几何意义，可得k1>k2. f2－f1

∵k3＝表示割线AB的斜率，

2－1∴k1>k3>k2. (2)设P(x0，y0)．

22

x＋Δx3－3x＋Δx＋－x3＋3x－

33

∵f′(x)＝Δlim x→0Δx＝3x2－3，

2－3， ∴切线的斜率k＝3x0

∴tan α＝3x20－3≥－3， π2

0，∪π，π. ∴α∈23

反思与感悟 导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的诸如直线的位置关系、斜率最值范围等关系求解相关问题时常与函数、方程、不等式等知识相结合．

跟踪训练4 (1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )

(2)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________． 答案 (1)A (2)－7

解析 (1)依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足． (2)设点P(x0，2x20＋a)． 由导数的几何意义可得 f′(x0)＝Δlim x→0

Δy

Δx

2x0＋Δx2＋a－2x20＋a

＝Δlim x→0Δx＝4x0＝8.

∴x0＝2，∴P(2,8＋a)．

将x＝2，y＝8＋a，代入8x－y－15＝0， 得a＝－7.

1．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 答案 A

解析 由题意，知k＝y′|x＝0

0＋Δx2＋a0＋Δx＋b－b＝Δlim ＝1， x→0Δx

B．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1

∴a＝1.

又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.

2.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )

A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)解析 由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)3.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )

A．－4 C．－2 答案 D

解析 由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于(4,0)，与y轴交于(0,4)，则可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴代入可得f(2)＋f′(2)＝1，故选D. 4．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________． 答案 (3,30)

解析 设点P(x0,2x20＋4x0)． 则f′(x0)＝Δlim x→0

fx0＋Δx－fx0

Δx

B．3 D．1

2Δx2＋4x0·Δx＋4Δx

＝Δlim ＝4x0＋4， x→0Δx

令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30)．

fa＋1－fa

5．已知f(x)＝logax(a>1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(a)，B＝，C＝f′(a＋1)，

a＋1－a则由导数的几何意义和斜率公式可得A，B，C的大小关系是________． 答案 A>B>C

解析 记M(a，f(a))，N(a＋1，f(a＋1))， fa＋1－fa

则由于B＝，表示直线MN的斜率，

a＋1－aA＝f′(a)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线斜率，

C＝f′(a＋1)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线斜率．所以A>B>C.

1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝Δlim x→0fx0＋Δx－fx0

＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．

Δx

2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．

3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．

课时作业

一、选择题

1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( ) A．f′(x0)>0 C．f′(x0)<0 答案 C

解析 由导数的几何意义，可得f′(x0)＝－2<0.

13

2．曲线y＝x2－2在点(1，－)处切线的倾斜角为( )

22A．1

π

B. 4

B．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在

5C.π 4答案 B

πD．－

4

111＋Δx2－2－－222

解析 ∵y′|x＝1＝Δlim x→0Δx1π＝Δlim (1＋Δx)＝1，∴倾斜角为. x→024

3．曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，则切线方程为( ) A．y＝9x C．y＝9x＋26 答案 D

2解析 设P(x0，x30－3x0＋1)，

B．y＝9x－26

D．y＝9x＋6或y＝9x－26

k＝y′|xx0＝Δlim x→0

Δy

Δx

2

x0＋Δx3－3x0＋Δx2＋1－x30－3x0＋1

＝Δlim x→0Δx

＝3x20－6x0＝9，

即x20－2x0－3＝0，解得x0＝－1或3. ∴点P的坐标为(－1，－3)或(3,1)．

∴切线方程为y＋3＝9(x＋1)或y－1＝9(x－3)， 即y＝9x＋6或y＝9x－26.

4．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是( )

答案 B

解析 由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时，f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故选B.

5．设f(x)为可导函数，且满足lim x→0率为( )

A．2 B．－1 C．1 D．－2 答案 D

1f1－f1－x解析 ∵lim · x→02x

f1－f1－x

＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜

2x

f1－f1－x11

＝lim ＝f′(1)＝－1， 2x→0x2∴f′(1)＝－2.

由导数的几何意义，知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－2.

6．设P为曲线C：y＝f(x)＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为ππ

[，]，则点P的横坐标的取值范围为( ) 42

1

A．(－∞，]

2C．[0,1] 答案 D

解析 设点P的横坐标为x0，则点P处的切线倾斜角α与x0的关系为 tan α＝f′(x0)＝Δlim x→0

fx0＋Δx－fx0

＝2x0＋2.

Δx

B．[－1,0] 1

D．[－，＋∞)

2

ππ

∵α∈[，]，∴tan α∈[1，＋∞)，

421

∴2x0＋2≥1，即x0≥－. 21

∴x0的取值范围为[－，＋∞)．

2二、填空题

b

7．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.

a答案 2

解析 由题意知a＋b＝3，

a1＋Δx2＋b－a＋b

又y′|x＝1＝Δlim ＝2a＝2， x→0Δx

b

∴a＝1，b＝2，故＝2.

a

8．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋1在点M处的瞬时变化率为－4，则点M的坐标为________． 答案 (－1,3)

解析 设点M(x0，y0)，

fx0＋Δx－fx0

f′(x0)＝Δlim ＝4x0＝－4， x→0Δx∴x0＝－1，则y0＝3，∴M(－1,3)．

1

9．已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.

2答案 3

1

解析 由在M点处的切线方程是y＝x＋2，

215

得f(1)＝×1＋2＝，

2211

1＋Δx＋2－－222

f′(1)＝Δlim x→0Δx1

Δx21

＝Δlim ＝. x→0Δx251∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.

22

10．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________． 答案 4

解析 设在P点处切线的斜率为k， 则k＝y′|x＝－2

－2＋Δx2－－2＋Δx＋c－6＋c

＝Δlim ＝－5， x→0Δx∴切线方程为y＝－5x.

∴点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10， 将P(－2,10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4. 三、解答题

11．若曲线y＝f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积

1

为，求a的值． 6

a＋Δx3－a3

解 ∵f′(a)＝Δlim ＝3a2， x→0Δx

2

∴曲线在(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，切线与x轴的交点为(a,0)．

3121

∴三角形的面积为|a－a|·|a3|＝，得a＝±1.

236

12．已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1分别满足下列条件，求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°； (2)切线平行于直线4x－y－2＝0； (3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0. 解 设切点坐标为(x0，y0)， 则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1 ＝4x0·Δx＋2(Δx)2， ∴y′|xx0＝Δlim x→0

Δy

＝4x0，即f′(x0)＝4x0. Δx

(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1，

1即f′(x0)＝4x0＝1，解得x0＝，

419

∴切点坐标为(，)．

48

(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0， ∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，解得x0＝1， ∴切点坐标为(1,3)．

(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直， 1∴k·(－)＝－1，即k＝8，

8∴f′(x0)＝4x0＝8，解得x0＝2， ∴切点坐标为(2,9)．

13．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平

行，求a的值． 解 ∵f′(x0)＝Δlim x→0

Δy

Δx

2＝Δlim[3x20＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)] x→0

＝3x20＋2ax0－9，

a2a2

即f′(x)＝3(x0＋)－9－，

33

aa2

当x0＝－时，f′(x0)取到最小值，为－9－.

33∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行， ∴该切线斜率为－12.

a2

∴－9－＝－12，解得a＝±3，

3又a<0，∴a＝－3. 四、探究与拓展

14.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝________；

lim Δx→0

f1＋Δx－f1

＝______.(用数字作答)

Δx

答案 2 －2

解析 ∵f(0)＝4，∴f(f(0))＝f(4)＝2， f′(1)＝Δlim x→0

f1＋Δx－f10－4

＝＝－2.

Δx2－0

15．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2. (1)求直线l2的方程；

(2)求直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积． 解 (1)∵y′＝Δlim x→0

Δy Δx

x＋Δx2＋x＋Δx－2－x2＋x－2

＝Δlim x→0Δx

＝2x＋1， ∴y′|x＝1＝3，

∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.

设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x20＋x0－2)， 则直线l2的方程为

y－(x20＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)． 2∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，解得x0＝－.

3122

∴直线l2的方程为y＝－x－.

39

x＝6，y＝3x－3，

(2)解方程组得1225y＝－y＝－3x－9，2.

1

22

又∵直线l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)，(－，0)，

31522125

∴所求三角形的面积为S＝×|－|×(1＋)＝.

22312