2019-2020学年江西省吉安市高一下学期期末数学试卷 (解析版)

一、选择题（共12小题）.

1．在下列各图中，两个变量具有相关关系的图是（

）

A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4） 2．若a＜b＜0．那么下列不等式中正确的是（ ） A．

＜

B．a2＞ab

C．＜

D．a2＜b2

3．在数列{an}中，若an＝1+2020n（n∈N*），则数列{an}是（ ） A．递增数列

B．递减数列

C．常数列

D．以上都不是

4．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性是（ ） A．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等

B．与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一样 C．第1次抽中的可能性要大于第2次，第2次抽中的可能性要大于第3次，……，以此类推

D．第1次抽中的可能性要小于第2次，第2次抽中的可能性要小于第3次，……，以此类推

5．富士康对刚生产的iPhone11智能手机进行抽样检测的数据如表：

抽取台数 合格品数（台）

50 40

100 92

200 192

300 285

500 478

1000 9

则该厂生产的iPhone11智能手机优等品的概率约是（ ） A．75%

B．85%

C．95%

D．99%

6．执行如图所示的程序，令y＝f（x），若f（a）＞9，则实数a的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，﹣3）

C．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）

B．（﹣3，﹣） D．（﹣，3）

7．已知不等式x2+bx﹣c＜0的解集为{x|3＜x＜6}，则不等式﹣bx2+（c+1）x﹣2＞0的解集为（ ）

A．{x|x＜，或x＞2} C．{x|x＜﹣，或x＞2}

B．{x|＜x＜2} D．{x|﹣＜x＜2}

8．淘宝网站对该网站的某服装店近50天每天的访客量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图，则访客量在125条以上的大约有（ ）

A．1天 B．2天 C．3天 D．4天

9．已知程序框图如图，则输出的i为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

10．对某售楼部一个月内每天的看房人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差、平均数分别是（ ）

A．45，45，51，42 C．47，45，51，42

B．45，47，51，42 D．45，45，51，43

，c＝6

，B＝

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝1245°，则A＝（ ） A．30°

B．105°

C．150°

D．30°或105°

12．数列{an}中，已知S1＝1，S2＝2，且Sn+1﹣3Sn+2Sn﹣1＝0（n≥2，n∈N*），则此数列为（ ） A．等差数列

C．从第二项起为等差数列

B．等比数列

D．从第二项起为等比数列

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．） 13．若数列{an}为等差数列且a2＝

，a4＝

，则sina6＝ ．

14．从40张卡片（点数从1﹣40各1张）中任取一张，有下列事件： ①“抽出的牌点数小于10”与“抽出的牌点数大于20”； ②“抽出的牌点数小于20”与“抽出的牌点数大于10”；

③“抽出的牌点数是奇数”与“抽出的牌点数是偶数”； ④“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”； 其中，（1）是互斥事件的有 ． （2）是对立事件的有 ；

（3）既不是对立事件，也不是互斥事件的有 ．

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝3，cosB＝cosC＝，则b＝ ．

16．一个总体数为60的个体编号为00，01，02，…，59，现需从中抽取一个容量为7的样本，请从随机数表的倒数第5行（如表为随机数表的最后5行）第7～8列的22开始，依次向下，到最后一行后，再从下两列的上边开始，继续向下读，直到取足样本，则抽取样本的号码是 ．

95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 46 40 62 98 80 97 20 56 95 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 67 72 16 42 79 71 59 73 05 50 24 36 59 87 38 82 07 53 35 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 96 35 23 79 18 05 98 90 07 35 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60 三、解答题：共70分解箸应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知a＞0，b＞0，+＝2，求2a+8b的最小值．

18．2020年，新冠病毒在世界肆虐，造成很多行业前景不如从前，国家最近调查了A，B，C三类工种的复工情况，在调查的所有职工中，A工种占40%，B工种占50%，C工种占10%．现用分层抽样的方法从调查的全体职工中抽取一个容量为n的样本． 试确定：

（Ⅰ）若n＝200，则在A工种、B工种、C工种中分别应抽取多少人？ （Ⅱ）若抽取的A工种比C工种多30人，则抽取的B工种有多少人？

19．某校高二（21）班共有40名学生，他们的身高全部在162cm到187cm之间，按他们身高分5个组统计得到如表频率分布表：

分组 [162，167）

频数 4

频率 0.1

[167，172） [172，177） [177，182） [182，187）

8 12 10 n

s 0.3 0.25 t

（Ⅰ）某兴趣小组为研究每天体育锻炼的时间与身高的相关性，需要在这40名学生中按身高用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生并求出表格中的s，t？

（Ⅱ）已知第一组的学生中男、女生均为2人．在（Ⅰ）的条件下抽取第一组的学生．求既有男生又有女生被抽中的概率．

20．已知公差不为0的等差数列{an}中，a3+a4＝24且a1，a2，a5成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足bn＝an+3

，求数列{bn}的前n项和Tn．

21．随着快递业的发展．网购的流行，居民不出门通过网购就可以实现轻松购物，为了研究一般家庭月平均收入与月平均网购支出的关系．该市统计部门随机调查10个有网购经验的家庭，得数据如表：

家庭编号 x1（收入）千元 y1（网购支出）千

元

（Ⅰ）判断家庭月平均收入与月平均网购支出是否相关？

（Ⅱ）若家庭月平均收入与月平均网购支出两者线性相关，求回归直线方程．（保留三位小数） 参考数据：

xiyi＝.8，

x＝505．

1 2 0.1

2 3 0.3

3 4 0.4

4 5 0.5

5 6 0.6

6 7 0.8

7 8 1.0

8 9 1.2

9 10 1.4

10 11 1.6

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），

其回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为＝，

22．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，cosC＝（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若c＝2，求△ABC的面积．

，c＝

．

参

一、选择题（共12小题）.

1．在下列各图中，两个变量具有相关关系的图是（

）

A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4） 【分析】根据散点图中点的分布是否在一条直线附近，且成带状分布，即可判断两变量间具有线性相关关系．

解：图（1）、（2）、（3）中，散点图中的点大致分布在一条直线附近，成带状分布，所以变量间具有线性相关关系；

图（4）中，散点图中的点分布杂乱无章，不在一条直线附近，也不成带状分布，所以变量间不具有线性相关关系． 故选：A．

2．若a＜b＜0．那么下列不等式中正确的是（ ） A．

＜

B．a2＞ab

C．＜

D．a2＜b2

【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误． 解：对于A．∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴对于B..∵a＜b＜0，∴a2＞ab，因此B正确； 对于B..∵a＜b＜0，∴＞，因此C不正确； 对于B..∵a＜b＜0，∴a2＞b2，因此D不正确． 故选：B．

3．在数列{an}中，若an＝1+2020n（n∈N*），则数列{an}是（ ） A．递增数列

B．递减数列

C．常数列

D．以上都不是

＞

＞0，因此A不正确；

【分析】结合数列单调性的定义即可判断．

解：由题意可得，an+1﹣an＝1+2020n﹣1﹣2020（n﹣1）＝2020＞0， 所以数列{an}是递增数列． 故选：A．

4．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性是（ ） A．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等

B．与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一样 C．第1次抽中的可能性要大于第2次，第2次抽中的可能性要大于第3次，……，以此类推

D．第1次抽中的可能性要小于第2次，第2次抽中的可能性要小于第3次，……，以此类推

【分析】在简单随机抽样中从n个样品中抽取一个，不论先后，每个样品被抽到的概率都是．

解：在简单随机抽样中，

从n个样品中抽取一个，不论先后，每个样品被抽到的概率都是，

∴某一个个体被抽中的可能性是与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等． 故选：A．

5．富士康对刚生产的iPhone11智能手机进行抽样检测的数据如表：

抽取台数 合格品数（台）

50 40

100 92

200 192

300 285

500 478

1000 9

则该厂生产的iPhone11智能手机优等品的概率约是（ ） A．75%

B．85%

C．95%

D．99%

【分析】利用古典概型概率计算公式直接求解． 解：该厂生产的iPhone11智能手机优等品的概率约为：

≈95%．

故选：C．

6．执行如图所示的程序，令y＝f（x），若f（a）＞9，则实数a的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，﹣3）

C．（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）

B．（﹣3，﹣） D．（﹣，3）

【分析】模拟程序的运行，可得程序的功能是求f（x）＝＞9，分类讨论即可求解实数a的取值范围． 解：因为f（x）＝

，

的值，由f（a）

所以由f（a）＞9，可得，或，

解得a＞3，或a＜﹣，

故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）． 故选：C．

7．已知不等式x2+bx﹣c＜0的解集为{x|3＜x＜6}，则不等式﹣bx2+（c+1）x﹣2＞0的解集为（ ）

A．{x|x＜，或x＞2} C．{x|x＜﹣，或x＞2}

B．{x|＜x＜2} D．{x|﹣＜x＜2}

【分析】根据题意，可知x2+bx﹣c＝0的两根为3，6．依据韦达定理，即可解得b与c，化简不等式﹣bx2+（c+1）x﹣2＞0为9x2﹣17x﹣2＞0，通过一元二次不等式的解法即可求得结果．

解：由题意，x2+bx﹣c＝0的两根为3，6． 则

，解得

，

则不等式﹣bx2+（c+1）x﹣2＞0可化为9x2﹣17x﹣2＞0，

解得x＜﹣，或x＞2． 故选：C．

8．淘宝网站对该网站的某服装店近50天每天的访客量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图，则访客量在125条以上的大约有（ ）

A．1天 B．2天 C．3天 D．4天

【分析】由频率分布直方图得访客量在125条以上的频率，由此能求出访客量在125条以上的大约天数．

解：由频率分布直方图得访客量在125条以上的频率为： 1﹣（0.006+0.009+0.0105+0.012+0.0075+0.003）×20＝0.04， ∴访客量在125条以上的大约有：50×0.04＝2天． 故选：B．

9．已知程序框图如图，则输出的i为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【分析】根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，分别讨论S与i的值是否满

足继续循环的条件，当条件满足时，即可得到输出结果． 解：由程序框图可得

解：S＝1，i＝3不满足条件S≥100，执行循环体

S＝1×3＝3，i＝3+2＝5，不满足条件S≥100，执行循环体 S＝3×5＝15，i＝5+2＝7，不满足条件S≥100，执行循环体 S＝15×7＝105，i＝7+2＝9，满足条件S≥100，退出循环体 此时i＝9 故选：C．

10．对某售楼部一个月内每天的看房人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差、平均数分别是（ ）

A．45，45，51，42 C．47，45，51，42

B．45，47，51，42 D．45，45，51，43

【分析】根据题意，由茎叶图读取数据，进而分析样本的中位数、众数、极差、平均数，即可得答案．

解：根据题意，由茎叶图中数据可得：12、20、31、32、34、45、45、45、47、47、48、50、50、61、63；

则其中位数为45，45出现的次数最多，则其众数为45， 极差为63﹣12＝51， 平均数＝故选：A．

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝1245°，则A＝（ ） A．30°

B．105°

C．150°

D．30°或105°

，c＝6

，B＝

＝42；

【分析】由已知利用正弦定理可得sinC＝，利用大边对大角，特殊角的三角函数值可求C的值，根据三角形的内角和定理可求A的值． 解：∵b＝12

，c＝6

，B＝45°，

∴由正弦定理∴解答sinC＝， ∵c＜b，

∴C＜B，可得C＝30°，

，可得＝，

∴A＝180°﹣B﹣C＝180°﹣45°﹣30°＝105°． 故选：B．

12．数列{an}中，已知S1＝1，S2＝2，且Sn+1﹣3Sn+2Sn﹣1＝0（n≥2，n∈N*），则此数列为（ ） A．等差数列

C．从第二项起为等差数列

B．等比数列

D．从第二项起为等比数列

【分析】根据题意，利用数列{an}的前n项和为Sn，转化为通项公式an的关系，从而判断{an}的特征是什么．

解：数列{an}中，∵S1＝1，∴a1＝1； 又∵S2＝2，∴a2＝1；

又∵Sn+1﹣3Sn+2Sn﹣1＝0（n∈N*且n≥2）， ∴Sn+1﹣Sn﹣2Sn+2Sn﹣1＝0（n∈N*且n≥2），

即（Sn+1﹣Sn）﹣2（Sn﹣Sn﹣1）＝0（n∈N*且n≥2）， ∴an+1＝2an（n∈N*且n≥2），

∴数列{an}从第2项起是以2为公比的等比数列． 故选：D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若数列{an}为等差数列且a2＝

，a4＝

，则sina6＝

．

【分析】由已知结合等差数列的性质可求d，然后结合通项公式可求a6，进而可求 解：由题意可得，d＝则a6＝a4+2d＝则sina6＝sin故答案为：

＝

＝＝，

，

14．从40张卡片（点数从1﹣40各1张）中任取一张，有下列事件： ①“抽出的牌点数小于10”与“抽出的牌点数大于20”； ②“抽出的牌点数小于20”与“抽出的牌点数大于10”； ③“抽出的牌点数是奇数”与“抽出的牌点数是偶数”； ④“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”； 其中，（1）是互斥事件的有 ①③ ． （2）是对立事件的有 ③ ；

（3）既不是对立事件，也不是互斥事件的有 ②③ ． 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解． 解：从40张卡片（点数从1﹣40各1张）中任取一张，

对于①，“抽出的牌点数小于10”与“抽出的牌点数大于20”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥事件；

对于②，“抽出的牌点数小于20”与“抽出的牌点数大于10”能同时发生，不是互斥事件；

对于③，“抽出的牌点数是奇数”与“抽出的牌点数是偶数”既不能同时发生，又不能同时不发生，是对立事件；

对于④是，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”能同时发生，不是互斥事件．

∴其中，（1）是互斥事件的有 ①③． （2）是对立事件的有③；

（3）既不是对立事件，也不是互斥事件的有②④． 故答案为：①③，③，②④．

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝3，cosB＝cosC＝，则b＝

．

【分析】直接利用余弦定理和等腰三角形的性质的应用求出结果． 解：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 已知a＝3，cosB＝cosC， 所以B＝C， 故b＝c，

cosB＝故答案为：

＝，解得b＝．

16．一个总体数为60的个体编号为00，01，02，…，59，现需从中抽取一个容量为7的样本，请从随机数表的倒数第5行（如表为随机数表的最后5行）第7～8列的22开始，依次向下，到最后一行后，再从下两列的上边开始，继续向下读，直到取足样本，则抽取样本的号码是 22，25，00，32，39，38，18 ． 95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 46 40 62 98 80 97 20 56 95 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 67 72 16 42 79 71 59 73 05 50 24 36 59 87 38 82 07 53 35 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 96 35 23 79 18 05 98 90 07 35 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60 【分析】根据随机数的定义进行求解即可．

解：先选取22，向下69不符合要求，下面选取25，向下87，79不符合要求， 再从下两列的上边开始，继续向下读，00，32，39，38，18， 因此，抽取的样本的号码是22，25，00，32，39，38，18． 故答案为：22，25，00，32，39，38，18．

三、解答题：共70分解箸应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知a＞0，b＞0，+＝2，求2a+8b的最小值． 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 解：因为a＞0，b＞0，+＝2， 所以2a+8b＝（2a+8b）（当且仅当

）×＝

＝25，

即a＝b＝时取等号．

故2a+8b的最小值25．

18．2020年，新冠病毒在世界肆虐，造成很多行业前景不如从前，国家最近调查了A，B，C三类工种的复工情况，在调查的所有职工中，A工种占40%，B工种占50%，C工种占10%．现用分层抽样的方法从调查的全体职工中抽取一个容量为n的样本． 试确定：

（Ⅰ）若n＝200，则在A工种、B工种、C工种中分别应抽取多少人？

（Ⅱ）若抽取的A工种比C工种多30人，则抽取的B工种有多少人？

【分析】（Ⅰ）用样本容量乘以A工种、B工种、C工种所占的比例，即得所求． （Ⅱ）由题意求得n的值，再用n的值乘以B工种所占的比例，即为所求． 解：（Ⅰ）若n＝200，则在A工种中抽取的人数为200×40%＝80， B工种中抽取的人数为 200×50%＝100， C工种中应抽取的人数为 200×10%＝20．

（Ⅱ）若抽取的A工种比C工种多30人，则40%×n﹣10%×n＝30，求得n＝100， 则抽取的B工种中的人数为 100×50%＝50．

19．某校高二（21）班共有40名学生，他们的身高全部在162cm到187cm之间，按他们身高分5个组统计得到如表频率分布表：

分组 [162，167） [167，172） [172，177） [177，182） [182，187）

频数 4 8 12 10 n

频率 0.1 s 0.3 0.25 t

（Ⅰ）某兴趣小组为研究每天体育锻炼的时间与身高的相关性，需要在这40名学生中按身高用分层抽样的方法抽取20名学生进行研究，问应抽取多少名第一组的学生并求出表格中的s，t？

（Ⅱ）已知第一组的学生中男、女生均为2人．在（Ⅰ）的条件下抽取第一组的学生．求既有男生又有女生被抽中的概率．

【分析】（Ⅰ）由题意利用分层抽样的定义，频率分布标的性质，求出s、t的值． （Ⅱ）由题意利用古典概率及其计算公式，求得结果． 解：（Ⅰ） 由于＝

，∴s＝0.2，

t＝1﹣0.1﹣0.2﹣0.3﹣0.25＝0.15，

第一组的学生应抽取的人数为 20×0.1＝2．

（Ⅱ）抽取第一组的学生中，既有男生又有女生被抽中的概率为

＝．

20．已知公差不为0的等差数列{an}中，a3+a4＝24且a1，a2，a5成等比数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足bn＝an+3

，求数列{bn}的前n项和Tn．

【分析】（Ⅰ）由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；

（Ⅱ）运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和． 解：（Ⅰ）设公差d不为0的等差数列{an}中，a3+a4＝24且a1，a2，a5成等比数列， 可得2a1+5d＝24，且a1a3＝a22，即a1（a1+4d）＝（a1+d）2， 解得a1＝12，d＝0（舍去），或a1＝2，d＝4， 所以an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2，n∈N*； （Ⅱ）bn＝an+3

＝4n﹣2+3n，

所以数列{bn}的前n项和Tn＝（2+6+…+4n﹣2）+（3+9+…+3n） ＝n（2+4n﹣2）+

＝2n2+

．

21．随着快递业的发展．网购的流行，居民不出门通过网购就可以实现轻松购物，为了研究一般家庭月平均收入与月平均网购支出的关系．该市统计部门随机调查10个有网购经验的家庭，得数据如表：

家庭编号 x1（收入）千元 y1（网购支出）千

元

（Ⅰ）判断家庭月平均收入与月平均网购支出是否相关？

（Ⅱ）若家庭月平均收入与月平均网购支出两者线性相关，求回归直线方程．（保留三位小数） 参考数据：

xiyi＝.8，

x＝505．

1 2 0.1

2 3 0.3

3 4 0.4

4 5 0.5

5 6 0.6

6 7 0.8

7 8 1.0

8 9 1.2

9 10 1.4

10 11 1.6

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），

其回归直线＝x+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为＝，

【分析】（Ⅰ）通过作散点图加以判断； （Ⅱ）求出与的值，可得回归直线方程． 解：（Ⅰ）由表格中的数据作出散点图如下：

观察发现，各个数据对应的点都在一条直线附近，可知家庭月平均收入与月平均网购支出线性相关； （Ⅱ）

＝6.5，

＝0.79．

＝＝，

．

∴y关于x的线性回归方程为

．

，c＝

．

22．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，cosC＝（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若c＝2，求△ABC的面积． 【分析】（Ⅰ）由已知求解sinC，结合c＝值；

，再由正弦定理求解sinA，进一步求得A

（Ⅱ）由c值求得a值，然后对A分类求解sinB，代入三角形面积公式得答案． 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosC＝由c＝

，得sinC＝

，∴sinC＝

．

．

，∴sinA＝

∴A＝60°或A＝120°； （Ⅱ）由c＝2，c＝

，得a＝5．

当A＝60°时，sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC ＝故

，

＝

；

当A＝120°，sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC ＝故

，

＝

．