江西省吉安一中2013-2014学年高二下学期第一次段考数学理试题 Word版含答案( 2014高考)

次段考 数学试卷（理科）

考试时间120分钟

一、选择题（每小题5分，共50分） 1. 设i是虚数单位，复数A. 2 2. 若S1

1ai为纯虚数，则实数为（ ） 2iC. 2B. -2

21 2 D.

1 21x2dx，S2121dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为（ ）

1xA. S1S2S3 3. 将正整数排成下表：

B. S2S1S3 C. S2S3S1 D. S3S2S1

1 2

3

4

8

9

5 6 7

10 11 12 13 14 15 16 ……

则数表中的数字2014出现在（ ） A. 第44行第78列 B. 第45行第78列 C. 第44行第77列 D. 第45行第77列

4. 己知函数f(x)=x3-12x+a，其中a≥16，则下列说法正确的是（ ） A. f(x)有且只有一个零点 B. f(x)至少有两个零点 C. f(x)最多有两个零点

D. f(x)一定有三个零点

5. 己知函数yanx2(a0，nN*)的图象在x=1处的切线斜率为2an11(n2，nN*)，且当n=1时，其图象经过(2,8)，则a7=（ ）

A.

1 2

2 B. 5

n C. 6 D. 7

6. 二项式(x)的展开式中各项系数的和为（ ） A. 32

B. -32

C. 0

D. 1

1x7. 由曲线y=x2-1，直线x=0，x=2和x轴围成的封闭图形的面积（如图）可表示为（ ）

A. C.

202(x21)dx

(x1)dx

2

B. D.

201x21dx

20(x01)dx(x21)dx

128. 已知函数f(x)1，则yf(x)的图象大致为（ ）

xln(x1)

9. 定义在R上的函数f(x)满足：f'(x)f(x)恒成立，若x1x2，则e1f(x2)与

xex2f(x1)的大小关系为（ ）

A. e1f(x2)eC. e1f(x2)exxx2x2f(x1) f(x1)

B. e1f(x2)exxx2x2f(x1)

D. e1f(x2)与ef(x1)的大小关系不确定

10. 将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有多少种（ ）

A. 150

二、填空题（每小题5分，共25分）

*11. 若nN，n100，且二项式(x3B. 114 C. 100 D. 72

1n)的展开式中存在常数项，则所有满足条件2x的值的和是 。

12. 在(3x23x)11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为，则

10xdx= 。

13. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给

同一人的2张参观券要连号，那么不同的分法种数是 。

14. 对任意实数，有(x1)4a0a1(x3)a2(x3)2a3(x3)3a4(x3)4，则

a3的值为 。

15. 下列使用类比推理所得结论正确的序号是 。

①直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c。类推出：向量a，b，c，若a∥b，b∥

c则a∥c。

②同一平面内，三条不同的直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b。类推出：空间中，三条不同的直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b。

③任意a，b∈R，a-b>0则a>b。类比出：任意a，b∈C，a-b>0则a>b。

④以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程是x2+y2=r2。类推出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程是x2+y2+z2=r2。

三、解答题（12+12+12+12+13+14=75分）

1216. （12分）已知有如下等式：

*22212322352347，122，12232，…6662当nN时，试猜想123n的值，并用数字归纳法给予证明。 17. （12分）已知a为实数，f(x)(x24)(xa) （1）求导数f'(x)；

（2）若f'(1)0，求f(x)在[2,2]上的最大值和最小值； （3）若f(x)在(,2)和(2,)上都是递增的，求a的取值范围。

18. （12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点。已知AB=3米，AD=2米。

（1）设AN=x（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围； （2）若x∈[3，4]（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大?并求出最大面积。 19. （12分）已知函数f(x)且f'(x)0在R上恒成立。

1312axxcxd(a,c,dR)满足f(0)0，f'(1)034（1）求a，c，d的值； （2）若h(x)32b1xbx，解不等式f'(x)h(x)0。 424m120. （13分）数列{an}满足an0，Sn(an)，其中m62cosxdx。

02an（1）求S1，S2，S3，猜想Sn； （2）请用数学归纳法证明之。

21. （14分）已知函数f(x)axx2xlna，a1 （1）求证函数f(x)在(0,)上的单调递增； （2）函数yf(x)t1有三个零点，求t的值；

（3）对x1，x2[1,1]，f(x1)f(x2)e1恒成立，求a的取值范围。

高二数学（理）参考答案

1-10 ABBCB，CBAAC 11. 950 12.

6 713. 96 14. 8 15. （4）

16. 123n2222n·(n1)·(2n1)，证明见解析

6【解析】先猜想，然后再用数学归纳法进行证明。

证明时分两个步骤：第一步，先验证是当n=1时，等式是否成立；

第二步，假设n=k时，等式成立；再证明当n=k+1时，等式也成立，再证明时一定要用上归纳假设。否则证明无效

解：猜想：123n以下用数学归纳法证明其正确性 10当n=1时，左=12=1，右=∴左=右，等式成立

2222n·(n1)·(2n1)

6 …………4分

1·(11)·(2·11)1，

6

…………5分

20假设当n=k(k1)时等式成立，即

122232k22222k·(k1)·(2k1)

62 …………6分

则123k(k1)k·(k1)·(2k1)(k1)2

6

…………8分

(k1)·(k2)·(2k3)(k1)[(k1)1][2(k1)1]

66*…………11分

即当n=k+1时等式也成立。

由10和20可知等式对任何nN都成立

2 …………12分

17. （1）f'(x)3x2ax4。（2）最大值为【解析】

9502] ，最小值为。（3）[2，227试题分析：（1）由原式得f(x)xax4x4a， ∴f'(x)3x2ax4。

232 …………2分

（2）由f'(1)0得a

21， 2122此时有f(x)(x4)(x)，f'(x)3xx4。 由f'(x)0得x

44509或x=-1，又f()，f(1)，f(2)0，f(2)0， 33272950，最小值为。 227

…………7分

所以f(x)在[2,2]上的最大值为

（3）解法一：f'(x)3x22ax4的图象为开口向上且过点(0,4)的抛物线， 由条件得f'(2)0，f'(2)0，即所以a的取值范围为[2,2]。

24a80∴2a2。

84a0

…………12分

解法二：令f'(x)0即3x2ax40，由求根公式得

x1,2aa212(x1x2)

3所以f'(x)3x22ax4。在(,x1]和[x2,)上非负。

由题意可知，当x2或x2时，f'(x)0，从而x12，x22，

2a12a6即解不等式组得2a2。

2a126a.∴a的取值范围为[2,2]。

考点：函数求导数求最值判定单调性

点评：函数最值一般出现在极值点或线段端点处，根据导函数图象f(x)在(,2)和

(2,)上都是递增的可得函数的导数f'(x)0，解法一利用数形结合法，利用导函数图象

求解较简单。

18. （Ⅰ）(2,)(8,)；（Ⅱ）花坛AMPN的面积最大27平方米，此时AN=3米，AM=9米。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）把AM用x表示后，再把矩形AMPN的面积表示出来，解不等式可得；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的函数解析式，以导数为工具，求出最大值。

试题解析：由于

83DNDCx233x即，则AM ANAMxAMx2故SAMPN3x2AN·AM

x2 …………3分

（1）由SAMPN3x232， 32得

x28或x>8 32因为x>2，所以3x32x640，即(3x8)(x8)0，从而2x即AN长的取值范围是(2,)(8,)

83 …………6分

3x26x(x2)3x23x(x4)（2）令y，则y' x2(x2)2(x2)2…………8分

3x2因为当x[3,4]时，y'0，所以函数y在x[3,4]上↘，

x23x2从而当x=3时y取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米，

x2此时AN=3米，AM=9米

…………12分

考点：函数的应用、导数的应用。 19. （1）a（2）当b为∅

2【解析】（1）∵f(0)0，∴d0，∵f'(x)ax11，c，d0 4411111时，解集为(,b)，当b时，解集为(b,)，当b时，解集222221xc。又f'(1)0，2∴ac1。 22∵f'(x)0在R上恒成立，即ax∴ax21xc0恒成立。 211xa0恒成立，显然当a=0时，上式不恒成立。 22

…………3分

所以a≠0，

a0，a0，∴12即21 11aa0，()4a(a)0，21622解得a11，c。 44 …………6分

（2）由（1）知f'(x)得

1211xx。由f'(x)h(x)0， 42412113b1xxx2bx0， 4244242即x()x当b12b2b10，即(xb)(x)0， 2211111时，解集为(,b)，当b时，解集为(b,)，当b时，解集为22222∅。…………12分

20. （1）1，2，3，Sn（2）见解析。 n。

【解析】第一问中利用数列的赋值思想，由定积分得到m=1，则可以得到an0，

Sn11借助于通项公式与前n项和关系求解前几项的和，并猜想得到通项公式。(an)，

2an运用数学归纳法加以证明即可。

解（Ⅰ）易得：m=1。∵an0，∴Sn0， 由S1由S211(a1)，变形整理得S121，取正根得S11。 2a11111变形整理得(a2)及a2S2S1S21得S2(S21)，

22a2S212S22，取正根得S22。

同理可求得S33。由此猜想Sn（Ⅱ）用数学归纳法证明如下：

n。

…………5分

（1）当n=1时，上面已求出S11，结论成立。 （2）假设当n=k时，结论成立，即Sk则n=k+1时，Sk1(ak1 …………7分

k。

1211111)(Sk1Sk)(Sk1k)。 ak12Sk1Sk2Sk1k2整理得SSk1k1，取正根得Sk1k1。

…………12分

…………13分

故当n=k+1时，结论成立。

*

由（1）、（2）可知，对一切nN，Snn都成立。

21. （1）详见解析；（2）t2；（3）1ae。 【解析】

试题分析：（1）证明函数在某区间单调递增，判断其导函数在此区间上的符号即可；（2）

判断函数零点的个数一般可从方程或图象两个角度考察，但当函数较为复杂，难以画出它的图象时，可以将其适当等价转化，变为判断两个函数图象交点个数；（3）恒成立问题则常用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，也可直接考察函数的性质进行解决，本题则可转化为f(x)maxf(x)mine1，而求f(x)max，f(x)min则可利用导数去判断函数的单调性，还要注意分类讨论。

试题解析：（1）证明：f'(x)axlna2xlna(ax1)lna2x， ∵a1，x0， ∴lna0，a10 ∴f'(x)0

∴函数f(x)在(0,)↗。

…………4分

x（2）解：令f'(x)0，解得x0，∴f(x)minf(0)1， ∵函数f(x)t1有三个零点，

∴f(x)t1有三个实根，∴t11，∴t2。

…………8分

（3）由（2）可知f(x)在区间[1,0]↘，在区间[0,1]↗， ∴f(x)minf(0)1，f(x)maxmax{f(1)，f(1)}， 又f(1)111lna，f(1)a1lna，∴f(1)f(1)a2lna， aa11212lna，a1，则g(a)12(1)20 aaaa设g(a)a∴g(a)在(1,)↗，∴g(a)g(1)0，即f(1)f(1)0，∴f(x)maxf(1)a1lna， 所以，对于x1，x2[1,1]，f(x1)f(x2)maxf(1)f(0)alna， ∴alnae1，∴1ae。

…………14分

考点：函数的单调性、函数的零点、不等式恒成立问题。