专题11 机械能守恒定律和能量守恒定律——学生版

一、目标要求

目标要求 重力做功与重力势能 弹簧弹力做功与弹性势能 机械能及其守恒 功能关系和能量守恒 重、难点 重点 重点 重难点 难点 二、知识点解析

一、重力势能 1．重力做功的特点

根据功的定义式：WFscos，对于重力做功的情况分析如图，同一物体，虽然路径不同，但是从初始位置到末位置在重力方向上的位移完全相同，因此四种情况下重力做功相同．

可以看出：重力做功的大小取决于物体初、末位置的高度差，而与其运动路径、运动方式无关． 2．定义

重物由于被举高而具有的能量叫做重力势能． 3．重力势能大小

Epmgh

其中，h是物体重心距参考平面的高度，参考平面可以根据实际情况进行灵活选取，一般都以地面作为零势能参考平面．

4．单位

与功的单位相同，都是焦耳．

5．重力势能是一种能量，是标量，没有方向，但是数值有正负之分． 6．重力势能的“三性”

(1)系统性：重力势能是物体和地球组成的系统所共有的能量而不是物体独有的，通常所说的物体的重力势能都是一种简略的说法．

(2)重力势能的相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，参考平面类似于坐标轴的零点，物体高度在参考面以下势能是负值，在参考面以上势能是正值，对于同一研究系统，不能选取多个零势能平面，以免造成混乱．

(3)重力势能变化的绝对性：在同一参考系中，物体从一个位置到另外一个位置的重力势能的变化量是一定的，与参考面的选取无关．

注：重力势能的计算公式Epmgh只适用于g不变时的范围，g值变化则该公式不可用． 重力做功等于重力势能变化的负值，即重力做正功其重力势能减少，重力做负功其重力势能增加． 二、弹性势能 1．定义

发生弹性形变的系统内部，由于有弹力的相互作用而具有势能，这种势能叫做弹性势能．高中阶段主要研究的是弹簧弹性势能.

2．弹簧弹性势能的大小

1Epkx2

2其中k为劲度系数，x为弹簧的形变量． 3．弹力做功的特点

和重力势能类似，弹簧弹力做正功时弹性势能减少，弹簧弹力做负功时弹性势能增加． 三、机械能

(1)物体的动能和势能之和叫做机械能．机械能包括：动能、重力势能和弹性势能．

(2)重力势能是属于物体和地球组成的系统的，弹性势能是属于弹簧系统的，所以机械能守恒的适用对象是系统．

(3)机械能是标量，但是有正负． 四、机械能守恒定律

(1)内容：在系统内只有重力或弹力做功的条件下，系统内部的动能和势能（包括重力势能和弹性势能）发生相互转化，但机械能的总量保持不变．

(2)使用条件：在只有重力或者弹力做功的系统中．

注意：机械能守恒条件强调只有系统内的重力或弹力做功，并不是只受到重力和弹力的作用而不受其他

力，如小球沿光滑斜面下滑，它还受到支持力的作用，但是由于支持力不做功，不影响能量的变化，因此机械能在这种情况下仍然会守恒．

(3)机械能守恒示例

如图所示，一个质量为m的物体自由下落，到达A位置所具有的速度为v1，距地面高度为h1，继续下落h到达B位置所具有的速度为v2，此时距地面高度为h2．选取地面作为零势能参考平面，那么在A、B11处所具有的机械能是：EAEk1Ep1mv12mgh1，EBEk2Ep2mv22mgh2

2211整个过程中只有重力做功，根据动能定理：WGmv22mv12

22同时重力做功又等于重力势能的变化量：WGmgh1mgh2 因此可以得出：EAEB

五、机械能守恒定律和动能定理的区别 (1)适用条件不同

机械能守恒定律适用于只有重力和弹力做功的情形；而动能定理没有条件，不仅允许弹力和重力做功，还允许其他力做功．

(2)分析思路不同

机械能守恒定律只需要分析初、末态的动能和势能；而利用动能定理解题时要分析研究对象的初、末动能及所有外力做的功．

六、功能关系

一个物体能够对外做功，说明这个物体具有能量．能量有各种不同的形式，不同形式的能量可以相互转化，且在转化过程中总量保持不变．不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的，做功的过程就是各种形式的能量之间的转化(或转移)，因此，功是能量转化的量度．

力学中常见力做功与能量转化的对应关系如下：

对应不同形式能的不同的力做功 变化 合外力做功 动能变化 W合Ek2Ek1Ek 定量变化 重力做正功，重力势能减少；重力做负重力做功 重力势能变化 功，重力势能增加WGEpGEpG1EpG2 弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负弹簧弹力做功 弹性势能变化 功，弹性势能增加W弹Ep弹Ep弹1Ep弹2 机械能守恒E0 除重力和弹力之外的力做多少正功，物体的机械能就增加多少；除重力和弹力之外除重力和弹力之外的力做的功 机械能变化 的力做多少负功，物体的机械能就减少多少WE 一对相互作用力的滑动摩擦力内能变化 的总功 作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加QFfl相对 只有重力、弹簧弹力的功 不引起机械能变化 三、考查方向

题型1：重力势能的基本概念以及和重力做功的关系 典例一：关于重力做功和重力势能，下列说法正确的是( ) A．重力做功与物体运动的路径有关

B．重力对物体做负功时，物体的重力势能一定减小 C．物体处在零势能面以下时，其重力势能为负值 D．重力势能的变化与零势能面的选取有关 题型2：弹性势能的基本概念及与弹力做功的关系

典例二：(多选)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落,到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可以忽略,运动员可视为质点,下列说法正确的是( )

A.运动员到达最低点前重力势能始终减小

B.蹦极绳张紧后的下落过程中,弹力做负功,弹性势能增加 C.蹦极绳张紧后的下落过程中,弹力先做正功,后做负功 D.蹦极过程中,重力势能的改变与重力势能零点的选取有关 题型3：机械能守恒的判定

典例三：(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )

A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒

B．乙图中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒

C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒

D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒 题型4：机械能守恒定律的应用

典例四：如图所示，长为l的均匀铁链对称挂在一轻质小滑轮上，某一微小的扰动使铁链向一侧滑动，则铁链完全离开滑轮时速度大小为( )

A．2gl

B．gl

C．2gl 2 D．gl 2题型5：摩擦力做功与能量转换

典例五：如图所示，质量为m的小铁块A以水平速度v0冲上质量为M、长为l、置于光滑水平面C上的木板B，正好不从木板上掉下，已知A、B间的动摩擦因数为μ，此时木板对地位移为s，求这一过程中：

（1）木板增加的动能； （2）小铁块减少的动能； （3）系统机械能的减少量； （4）系统产生的热量。

四、模拟训练

一、基础练习

1.如图所示，质量为m的足球在水平地面的位置1被踢出后落到水平地面的位置3，在空中达到的最高点位置2的高度为h．已知重力加速度为g．下列说法正确的是( )

A．足球由1运动到2的过程中，重力做的功为mgh B．足球由1运动到3的过程中，重力做的功为2mgh C．足球由2运动到3的过程中，重力势能减少了mgh D．如果没有选定参考平面，就无法确定重力势能变化了多少

2.一棵树上有一个质量为0.3 kg的熟透了的苹果P，该苹果从树上与A等高处先落到地面C最后滚入沟底D．已知AC、CD的高度差分别为2.2 m和3 m，以地面C为零势能面，A、B、C、D、E面之间竖直距离如图所示．算出该苹果从A落下到D的过程中重力势能的减少量和在D处的重力势能分别是(g取10 m/s2 ) ( )

A．15.6 J和9JB．9 J和－9 J C．15.6 J和－9 J D．15.6 J和－15.6 J

3.如图所示,轻弹簧下端系一重物,O点为其平衡位置,今用手向下拉重物,第一次把它直接拉到A点,弹力做功W1,第二次把它直接拉到B点后再让其回到A点弹力做功W2,则这两次弹力做功的关系为( )

A.W1B.W1=2W2 C.W2=2W1

D.W1=W2

4.一根弹簧的弹力﹣位移图线如图所示，那么弹簧由伸长量8 cm变到伸长量4 cm的过程中，弹力所做的功和弹性势能的变化量为( )

A．3.6 J，﹣3.6 J B．﹣3.6 J，3.6 J C．1.8 J，﹣1.8 J D．﹣1.8 J，1.8 J

5.(多选)如图所示,小球自a点由静止自由下落,到b点与竖直放置的轻弹簧接触,到c点时弹簧被压缩到最短,不计空气阻力,则小球在a→b→c的运动过程中( )

A.小球的加速度在ab段不变,在bc段逐渐变小 B.小球的速度在bc段逐渐减小

C.小球的重力势能在a→b→c过程中不断减小 D.弹簧的弹性势能在bc段不断增大

6.(多选)如图所示,一轻弹簧一端固定于O点,另一端系一重物,将重物从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速地释放,让它自由摆下,不计空气阻力,在重物由A点摆向最低点B的过程中( )

A.重力做正功,弹力不做功

B.重力做正功,弹力做负功,弹性势能增加

C.若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后,重力做正功,弹力不做功 D.若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后,重力做功不变,弹力不做功

7.(多选)如图所示，弹簧固定在地面上，一小球从它的正上方A处自由下落，到达B处开始与弹簧接触，到达C处速度为0，不计空气阻力，则在小球从B到C的过程中( )

A．弹簧的弹性势能不断增大 B．弹簧的弹性势能不断减小

C．小球和弹簧组成的系统机械能不断减小 D．小球和弹簧组成的系统机械能保持不变 8.下列物体在运动过程中机械能守恒的是( ) A．降落伞匀速下降 B．起重机吊起重物的过程中 C．物体沿粗糙斜面下滑 D．物体做平抛运动的过程中

9.在下列过程中，若不计空气阻力，机械能守恒的是( ) A. 汽车刹车的过程 B. 石块自由下落的过程 C. 电梯加速上升的过程

D. 木箱沿粗糙斜面匀速下滑的过程

10.(多选)某人的手用恒定拉力将质量1 kg的物体由静止开始竖直向上提升到1 m的高度，这时物体的速度达到2 m/s．取g＝10 m/s2，下列说法中正确的是( )

A. 手对物体做的功是10 J B. 物体的机械能增加了12 J C. 手对物体做的功是2 J D. 这时拉力的瞬时功率为24 W

11.(多选)一质量为m的物体被人用手由静止竖直向上以加速度程的下列说法中正确的是( )

A. 人手对物体做功为

1mgh 31g匀加速提升一段距离h，关于此过313

B. 物体动能增量为mgh D. 物体的机械能增加mgh

43C. 物体的重力势能增加mgh

12.把质量是0.2 kg的小球放在竖直的弹簧上，将小球往下按至a的位置，如图所示．迅速松手后，弹

簧把球弹起，球升至最高位置c，途中经过位置b时弹簧正好处于原长．已知b、a的高度差为0.1 m，c、b的高度差为0.2 m，弹簧的质量和空气阻力均可忽略，g取10 m/s2．小球从a运动到c的过程中，下列说法正确的是( )

A．小球的动能逐渐减小

B．小球的动能与弹簧的弹性势能的总和逐渐增加 C．小球在b点的动能最大，为0.4 J D．弹簧的弹性势能的最大值为0.6 J

13.如图所示，长木板A放在光滑的水平地面上，物体B以水平速度冲上A后，由于摩擦力作用，最后停止在木板A上，则从B冲到木板A上到相对木板A静止的过程中，下述说法中正确的是( )

A．物体B动能的减少量等于系统损失的机械能 B．物体B克服摩擦力做的功等于系统内能的增加量

C．物体B损失的机械能等于木板A获得的动能与系统损失的机械能之和 D．摩擦力对物体B做的功和对木板A做的功的总和等于系统内能的增加量

14.如图所示，长为L的匀质链条放在光滑的水平桌面上，且有1/3悬于桌外，链条由静止开始滑动，则它滑离桌面时的速度是多少？

15.如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速释放摆下．求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功？

16.如图所示，水平传送带的左端与一倾角θ=37°的粗糙斜面平滑连接，一个小滑块(可视为质点)从斜面上的A点由静止释放，沿斜面滑下并冲上传送带，传送带以恒定速率v=2 m/s逆时针转动．已知小滑块的质量m=2 kg，斜面上A点到斜面底端的长度s=9 m，传送带的长度为L=10 m，小滑块与斜面的动摩擦因数μ1=0.50，小滑块与传送带间动摩擦因数μ2=0.40，g=10 m/s2．求：

(1)小滑块到达斜面底端P的速度大小；

(2)a．判断冲上传送带的小滑块是否可以运动到传送带的右端Q；

b．若小滑块可以运动到Q，试求小滑块从P点运动到Q点的过程中摩擦力分别对小滑块和传送带做的功；若小滑块不能达到Q，试求小滑块从P点开始再次运动到P点过程中摩擦力分别对小滑块和传送带做的功；

(3)小滑块在斜面和传送带上运动的整个过程中，小滑块相对于地面的总路程．

二、提升练习

1.（2019·浙江选考）奥运会比赛项目撑杆跳高如图所示，下列说法不正确的是（ ）

A．加速助跑过程中，运动员的动能增加 B．起跳上升过程中，杆的弹性势能一直增加 C．起跳上升过程中，运动员的重力势能增加

D．越过横杆后下落过程中，运动员的重力势能减少动能增加

2.（2017·江苏卷·多选）如图所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为L，B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长．现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α由60°变为120°，A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g．则此下降过程中（ ）

（A）A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于

3mg 2（B）A的动能最大时，B受到地面的支持力等于

3mg 2（C）弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下 （D）弹簧的弹性势能最大值为3mgL 23.（2017·新课标全国Ⅲ卷）如图，一质量为m，长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l。重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为（ ）

13

A．mgl

19

B．

1mgl 6

C．mgl

13

D．

1mgl 24.（2016·高考海南物理）如图，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N1，在高点时对轨道的压力大小为N2.重力加速度大小为g，则N1–N2的值为（ ）

A.3mg

B.4mg

C.5mg

D.6mg

5.(2017·全国理综I卷)一质量为8.00×104kg的太空飞船从其飞行轨道返回地面。飞船在离地面高度1.60×105m处以7.50×103m/s的速度进入大气层，逐渐减慢至速度为100m/s时下落到地面。取地面为重力势能零点，在飞船下落过程中，重力加速度可视为常量，大小取为9.8m/s2.（结果保留2为有效数字）

（1）分别求出该飞船着地前瞬间的机械能和它进入大气层时的机械能；

（2）求飞船从离地面高度600m处至着地瞬间的过程中克服阻力所做的功。已知飞船在该处的速度大小是其进入大气层时速度大小的2.0%。