函数极限的求法

序言

极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例。因此，本文只就函数极限进行讨论。函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决。求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的。对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法。在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。本文给出了十二种求极限的方法，每种方法都是以定理或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法。下面我们就根据函数的特点分类进行讨论。

一、函数极限的定义

定义一：若当x无限变大时，恒有|f(x)-a|<，其中是可以任意小的正数，则称当x趋向无穷大时，函数f（x）趋向于a，记作

xlimf(x)=a或f(x)→a(x→+)。

定义二：若当x无限接近x0时，恒有|f(x)-a|<，其中是可以任意小的正数，则称当x趋向

x0时，函数f（x）趋向于a，记作

xx0limf(x)=a或f(x) →a(x-x0)。

二、函数极限的求法

下面我们以相关的概念、定理及公式为依据，解决常见函数极限的求解方法：

1、 直接代入法

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适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为。

2x2x5limx23x1 例1：求

分析：由于

x2lim(2x+x-5)=2

2x2limx+

2x2limx-

x2lim5=2·2+2-5=5,

2x2lim（3x+1）=3

x2limx+

x2lim1=3·2+1=7

所以采用直接代入法。

lim（2x2x5）x2解：原式=

lim(3x1)x2222255=321=7

2、利用极限的四则运算法则求极限

这是求极限的基本方法，主要应用函数的和、差、积、商的极限法则及若干基本函数的极限结果进行极限的计算，为此有事往往要对函数作一些变形。

定理 若

xx0lim f(x)=A

xx0limg（x）=B

（1）

xx0lim[f(x)±g(x)]=

xx0limf(x) ±

xx0lim g(x)=A+B

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(2)

xx0lim[ f(x)·g(x)]=

xx0limf(x) ·

xx0lim g(x)=A·B

(3)若B≠0 则：

limf(x)

xx0limf(x)Alimg(x)g(x)=xx0=B

xx0(4)

xx0limC·f(x)=C·

xx0limf(x)=CA （C为常数）

上述性质对于x→，x→+，x→-时也同样成立

x23x5limx2x4 例2：求

x23x5223255limx2x4=24解： =2

3、利用极限定义求解 函数极限-定义：

xx0limf(x)=A: 0,0,当0<|x-x0|<时，|f（x）- A |<

-xx0limf(x)=A: 0,0,当-- 3 -

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xx0limf(x)=A: 0,0,当0< x-x0<时，|f（x）- A |<

xlimf(x)A:0,M0,当|x|>M时，|f（x）- A |<

xlimf(x)A:0,M0,当x>M时，|f（x）- A |<

xlimf(x):G0,X0,当x<-X时，|f（x）|>G

x2-3x2limx2x-2=1 例1：用极限定义证明：

证：由

x23x21x2=

x24x4x2

=

(x2)2x2=x2

0 取= 则当0<|x-2|<时，就有

x23x21x2<

x2-3x2limxx-2=1 由函数极限-定义有：24、利用无穷小量的性质求解

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性质1、无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量

性质2、无穷小量与无穷大量的关系：若在自变量的同一变化过程中f(x)为无穷小量，

1且f(x)≠0,则f（x）为无穷大量，反之亦然。

性质3、乘积因子的等价无穷小量代换：

这函数f、g、h在

U0(x0)内有定义，且有f(x)~g(x) (x→x0)

(1) 若

xx0limf(x)h(x)=A，则

h(x)g(x)=B；

xx0limg(x)h(x)=A;

(2) 若xx0lim(3) 当x→0xe1~ln(x+1)并且时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~

12x21-cosx~。

例4：求x0lim1xsinx

11limx解：因为|sinx|≤1，所以|sinx|是有界变量，又0x=0，

1所以当x→0时，xsinx是有界变量与无穷小量的乘积，根据无穷小量的性质可知，11limxsinx是无穷小量，所以x0xsinx=0

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1注意：（1）无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。例如，当x→，x是无穷小量，

2x个这种无穷小之和的极限显然为2。

（2）无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。

122（3）无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。例如，当 x→x0时，x是无穷大量，x122是有界量，显然x·x→0。

x2，x0lim（4）X→*下，f(x)>0，其极限x*f(x)未必大于0，例如，f（x）=8，x0显然f(x)=0.

5、利用无穷大量与无穷小量的关系求解

lim5xx24

例5：求x2x240lim2limlim解：因为x2x-4=0，x25x=10，所以我们可以求出x25x=10=0

x24这就是说，当x→2时，5x为无穷小量，由于恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大

5x5xlim22量，所以x4为x→2时的无穷大量，即x2x4=

6、利用初等函数的连续性质求解（适用于求函数在连续点处的极限） 利用初等函数的连续性求极限主要应用下列结果：

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（1） 若f(x)在

x0处连续，则

xx0lim f(x)= f(x0)；

（2） 若

xx0(x)lim（x）=A，y=f(u)在u=A处连续则

xx0(x)limf[(x)]=f(A);

（3） 若

xx0(x)limf(x)=A>0,

xx0(x)limg(x)=B,则

xx0(x)lim[f(x)]g(x)=AB

2例6：x1ln（7x-6）

lim62解：因为y=ln（7x-6）是初等函数，在定义域（7，+）内是连续的，所以在x=1

22处也连续，根据连续的定义，极限值等于函数值，所以x1ln（7x-6）=ln（7-6）=0

lim7、利用约零因子法求解

-3limx2例7：求x3x9

分析 所给两个函数中,分子、分母的极限均是0,不能直接使用法则四,故采用消去零因子法.

x-3(x-3)(x3) (因式分解)

解： 原式=

x3lim =

x3lim1(x3) (约分消去零因子

)

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= (应用法则)

=

当分子和分母的极限同时为零时，可以考虑约去分子、分母的零因子（若不方便约分，

0可以考虑用重要极限或等价无穷小量代换或洛比达法则求解）。想例题这种含根式0型（或

差式-型）求极限时，一下看不出零因子，常常需要分子、分母有理化（或通分），然后再因式分解约去零因子进行求解。

8、利用等价无穷小量代换求解

x当x→0时，有（1）sinx~x，（2）tanx~x，(3) arcsinx~x，(4) arctanx~x，(5) e1~x，

(6) ln(x+1) ~x，

lim1-cos2x2x例8：求x0

12解：因为当x→0时，1-cos2x~2（2x），

12（2x）2x21-cos2x2limlimlim222x0x0xxx所以==0x=2

（注意：在利用等价无穷小做代换时，一般只是在以乘积形式出现时才进行互换，而

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以和、差出现时，不要轻易代换，否则可能出现改变了它的无穷小量之比的“阶数”之情况。）

9、利用两个重要极限公式及其推导公式来解

limsinxlimsin（x）（x）=1

（1）第一个重要极限：x00x=1：其变形为：（x）（2）第二个重要极限：

x0（1limx）=e：其变形为：

1x（x）0lim（1（x））（）1x=e

或x1xlim（1）x=e：其变形为：（x）lim（11(x)）（x）=e

例9：求x0lim1-cosx2x

0x解：先判断类型，是“0”型，含三角函数（sin2→0），且不能消零因子，现在我们

利用第一个重要极限求解。

x2x22）解：原式=x0lim2sin2x2x2sin2sin（1xx2lim（lim2）2=2x02=x011=2×1=2

10、运用洛比达法则求解（适用于未定式极限）

0洛比达法则是求“0”型和“”未定式极限的有效方法，但是非未定式极限却不能

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000求。（0-，-，0，1，型未定式可以转化为“0”型和“”未定式）

定理：若

（i）

xx0lim f(x)=0，

xx0limg（x）=0

（ii）f与g在

x0的某空心领域

U0(x0)内可导，且g（x）≠0

f'(x)f(x)f(x)limlimlim'g(x)xx0g(x)xxx（iii）=A（A可为实数，也可为±或），则0=x0g(x)=A

0此定理是对“0”型而言，对于函数极限的其他类型，均有类似的法则。

x33x20lim32例10：x1x-xx1 （0型）

3x236x3limlim2解：原式=x13x2x1=x16x2=2

0注意：（1）并不是类似于“0”型和“”型的极限都能用洛比达法则，利用洛比达

法则求解，一定要先验证是否满足洛比达法则求解。

limxsinx例如：x1x

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解：原式=xlim1cosx1，

但是

xlim（1+cosx）极限不存在，所以不能再用洛比达法则求解。

1（1+xcosx）=1

正确解法为原式=xlim（2）应用洛比达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。

（3）要及时简化极限符号后面的分式，在化简以后检查时候仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛比达法则，否则会引起错误。

f(x)g(x)不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另

（4）当x0外方法。

lim（5）将等价无穷小量代换等求极限的方法与洛比达法则结合起来使用，可简化计算。

11、利用左、右极限讨论分段函数在其分段点处的极限

定理：函数极限

xx0xx0limf（x）存在且等于A的充分必要条件是左极限

-xx0limf（x）及右极限

limf（x）都存在且都等于A。即有：

xx0limf（x）﹤=>xx0f（x）=xx0f（x）=A

lim-lim - 11 -

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例11：设 讨论 在点 处的极限是否存在.

分析 所给函数是分段函数, 的充要条件入手.

是分段点, 要知 是否存在,必须从极限存在

解 因为

x0limf(x)=

x0lim(x-1)= - 1

x0limf(x)=

x0lim(x+1)=1

x0limf(x)≠x0 f(x)

lim 所以

x0lim f(x)不存在.

注1： 因为 从 的左边趋于 ,则 ,故 .

注2： 因为 从 的右边趋于 ,则 ,故 .

此题也可以转化为讨论函数f(x)在x=0处的连续性问题。

12、利用函数极限的迫敛性求解

迫敛性（两边夹）若

xx0limf（x）=

xx0limg(x)=A,且在某

U0(x0;)内有f(x)≤h(x) ≤g(x),则

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xx0limh(x)=A

1x[x]

例12：求x0lim1lim1解：当x>0时有1-x< x[x]≤1,故由迫敛性得：x0x[x]

1lim1另一方面，当x<0时有1≤x[x]<1-x，故由磨练下又可得：x0x[x]=1

综上，可求得x0lim1x[x]=1

参考文献

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