【金版学案】2015-2016学年高中数学 1.1.2弧度制练习(含解析)苏教版必修4

度量长度可以用米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便，角的度量是否也能用不同的单位制呢？

一、弧度制的概念

1．弧度制：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做________的角． 2．正角、零角、负角的弧度数． (1)正角的弧度数是一个________； (2)零角的弧度数是________； (3)负角的弧度数是一个________．

答案：1.1弧度 2.(1)正数 (2)零 (3)负数

二、角度制与弧度制的互化

角度制与弧度制的换算：因为周角所对的弧是整个圆周，其长为2πr，所以周角的弧度数是2π，但周角又等于360°，所以360°＝2π，所以180°＝π，

故得：1°＝________，1 rad＝________≈________＝________. 附：完成常用角的弧度角度换算表： 度 0° 30° π 460° π 2120° 135° 5π 6 π 270° 弧度 2π π答案： 180 度 弧度 0° 180° 57.3° 57°18′ π

30° π 5° π 460° π 390° π 2120° 2π 3135° 3π 4150° 5π 6180° π 270° 3π 2360° 2π 0

1

三、弧长公式与扇形面积公式

1．角度制：半径为r，圆心角为n°的扇形中，圆心角所对的弧长l和面积S分别为： 弧长l＝________，扇形的面积S＝________．

2．弧度制：半径为r，圆心角为α rad的扇形中，圆心角所对的弧长l和面积S分别为：

弧长l＝______，扇形的面积S＝______＝______． 答案：1.

nπrnπr2

180

360

1122．|α|r l·r |α|·r

22

角度制与弧度制的换算

角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系、辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；一些特殊角的弧度数，要求熟记，可通过下图记忆一些角的弧度数与角度数之间的关系．

今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单π

位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k·360°＋或者

32kπ－60°一类的写法．

2

角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应(如下图所示)．

弧度制下的弧长与扇形面积公式

112

这类问题直接考查弧长公式l＝|α|·r及扇形的面积公式S＝lr＝|α|r，要特别注

22意公式中各个字母的含义：|α|是扇形所在圆心角的弧度数的绝对值，l是弧长，r是所在圆的半径．

运用弧长公式时圆心角α的单位必须是弧度．今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或ππ

“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数．例如：sin 就表示 rad的角的正

33弦．但用角度制表示角时，即用“度”为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省去．

基础巩固

1．α＝－5 rad，则α的终边在( A )

3

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

πk2．已知A＝xx＝kπ＋（－1）·，k∈Z，B＝

2π

xx＝2kπ＋，k∈Z，则A，B之间的关系为( C )

2

A．A⊆B B．B⊆A C．A＝B D．AB

1

3．一条弧长等于所在圆半径的，则此弧所对的圆心角是________．

2

答案：

4．在半径为2的圆内，长为4的弧所对的圆心角的大小为________．

12

答案：2

5．－300°化为弧度是________．

答案：－π

6．若有一角和

π

rad角终边相同，则此角的集合可以表示为3

53

________________________________．

答案：αα＝k·2π＋，k∈Z

3



π



－117．把π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，则使|θ|最小的θ为________．

4

答案：－π

8．一个扇形的弧长为5 cm，它的面积为5 cm，则这个扇形的圆心角的弧度数是________．

2

3

4

答案：

9．半径为4 cm的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆周的弧长，则这个扇形的面积是________cm.

2

52

答案：8π－16

10．如下图所示，一条弦的长度等于半径r，求：

4

(1)这条弦所对的劣弧长；

(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积． 解析：(1)由题知△AOB为正三角形， π

∴∠AOB＝60°，即|α|＝.

3π

∴l劣弧＝|α|·r＝r.

31232

(2)S△AOB＝rsin 60°＝r，

24

S劣弧＝|α|·r2＝r2，

32π

∴S弓形＝S劣弧－S△AOB＝－r.



能力升级

11．在直径为10 cm的轮上有一长为6 cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒钟后P转过的弧长为________．

解析：P到圆心O的距离OP＝5－3＝4(cm)，又点P转过的角的弧度数α＝5×5＝25(rad)．

所以弧长为α·OP＝25×4＝100(cm)． 答案：100 cm

π

12．如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为2 cm，求弓形的面积．

3解析：如图所示，r＝AB＝2(cm)，S△OAB＝(cm)，

2π2

∴S弓形＝S扇形－S△OAB＝－3(cm)．

3

5

2

2

2

12π6

32

×4＝3(cm)，S4

扇形

1π2π＝×2××2＝233

13．如图所示，两轮半径分别是(A、B、C、D分别是切点)25 cm和5 cm，轴心距O1O2

＝40 cm，求连接两轮的传动皮带的长．

︵︵

解析：过O2点作O2E∥AB交AO1于点E，传动皮带长＝AMC＋BND＋AB＋CD. ∵O1O2＝40 cm，O1E＝25－5＝20(cm)， 且∠O1EO2＝90°，

∴∠EO1O2＝60°，EO2＝203(cm)． ︵π100∴AMC＝2π－×2·25＝π(cm)．

33︵10ππBND＝2π－＋×2·5＝π(cm)，

26

3

AB＝CD＝EO2＝203(cm)， AB＋CD＝403(cm)，

110

∴传动皮带长＝π＋403(cm)．

3

14．已知扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

解析：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40. ∴l＝40－2r.

1122

∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r＝－(r－10)＋100.

22

6

l40－2×102

∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm，这时θ＝＝＝

r10

2 rad.

7