全等三角形做辅助线-倍长中线、截长补短教案

教学过程

一、复习预习

全等三角形的判定定理：

1、SSS：三边对应相等的两个三角形全等

2、SAS：两边以及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 3、AAS：两角以及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 4、ASA：两角以及它们的夹边对应相等的两个三角形全等

5、HL：在直角三角形中，直角边与斜边对应相等的两个三角形全等

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二、知识讲解

考点1

遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

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考点2

截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

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三、例题精析

【例题1】

【题干】已知：如图3所示，AD为 △ABC的中线，求证：AB+AC>2AD。

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ADBCE 3

【答案】

证明：延长AD至E，使DE=AD，连接EC ∵AD是中线 ∴DC=DB

∵DE=AD，∠CDE=∠BDA，DC=DB ∴△CDE≌△BDA ∴CE=AB

在△AEC中 CE+AC>AE，CE=AB ∴AB+AC>AE ∵DE=AD

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∴AE=2AD ∵AB+AC>AE ∴AB+AC>2AD

【解析】

分析：要证AB+AC>2AD，由图形想到： AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有：AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD， 但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。

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【例题2】

【题干】已知：如图1所示， AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4。

求证：BE+CF>EF。

ANE1F234D图1BCWord 资料

【答案】

证明：在DA上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC 在△DEB和△DNE中 DN=DB ∠1=∠2 DE=DE

∴△DEB≌△DNE（SAS） ∴BE=NE

同理可得：CF=NF 在△EFN中，EN+FN>EF

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∴BE+CF>EF

【解析】

分析：要证BE+CF>EF ，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2， ∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。

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四、课堂运用

【基础】

1、 △ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值围（A．1＜AD＜4 B．3＜AD＜13 C．5＜AD＜13 D．9＜AD＜13

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）

【答案】 A

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【解析】

解：延长AD至M使得DM=AD显然三角形ABD全等于三角形CDM 所以AB=CM

又CM-AC以

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12、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，

求证：BD=CE

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【答案】

过D作DF∥AC交BC于F， ∵DF∥AC（已知），

∴∠DFC=∠FCE，∠DFB=∠ACB（平行线的性质），∵AB=AC（已知），

∴∠B=∠ACB（等边对等角）， ∴∠B=∠DFB（等量代换）， ∴BD=DF（等角对等边）， ∵BD=CE（已知）， ∴DF=CE（等量代换），

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∵∠DFC=∠FCE，∠DGF=∠CGE（已证）， ∴△DFG≌△ECG（AAS）， ∴DG=GE（对应边相等）

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【解析】

过D作DF∥AC交BC于F，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证△GDF≌△CEG即可.

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【巩固】

1、 已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，

求证：AF=EF

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AEFBDC 【答案】

解：延长AD至G，使得AD=DG，连接BG,GC ∵△ABC中,AD是BC边上的中线 ∴BD=DC ∵AD=DG

∴四边形ABGC为平行四边形 ∴AC=BG,AC//BG ∴△AFE∽△GBE ∴AF/FE=GB/BE

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∵AC=BE,AC=BG ∴BE=BG ∴AF=FE

【解析】

延

长

AD

至

G

，

使

得

AD=DG

，

连

接

BG,GC

，

根

据

全

等

证

明

AF=EF

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2、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

ABDEC

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【答案】

延长AE到M，使EM=AE，连结DM 易证△DEM ≌△CEA ∴∠C=∠MDE, DM=AC 又BD=DC=AC

∴DM=BD,∠ADC=∠CAD

又∠ADB=∠C+∠CAD，∠ADM=∠MDE+∠ADC ∴∠ADM=∠ADB ∴△ADM ≌△ADB ∴∠BAD=∠MAD

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即AD平分∠BAE

【解析】

因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC 因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2AC ∠ACE=∠BCA，所以△BCA∽△ACE 所以∠ABC=∠CAE

因为DC=AC，所以∠ADC=∠DAC ∠ADC=∠ABC+∠BAD

所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE 所以∠BAD=∠DAE

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即AD平分∠BAE

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【拔高】

1、如图，已知在△ABC，BAC60，C400，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的

0角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

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ABQPC 【答案】

证明：

做PM‖BQ，与QC相交与M。

∵∠APB=°—∠BAP—∠ABP=°—30°—80°=70°

且∠APM=°—∠APB—∠MPC=°—70°—∠QBC=°—70°—40°=70° ∴∠APB=∠APM

又∵AP是BAC的角平分线， ∴∠BAP=∠MAP AP是公共边

∴△ABP≌△AMP(角边角）

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∴AB=AM，BP=MP

在△MPC中，∠MCP=∠MPC=40° ∴MP=MC

∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC 在△QBC中

∵∠QBC=QCB=40° ∴BQ=QC

∴BQ+AQ=AQ+QC=AC ∴BQ+AQ=AB+BP

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【解析】

做辅助线PM‖BQ，与QC相交与M。首先算清各角的度数，然后证明全等，即可证明结论。

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2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD

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ACBD 【答案】

在AB上取点N ,使得AN=AC ∠CAE=∠EAN , AE=AE,

∴△CAE≌△EAN ∴∠ANE=∠ACE 又AC∥BD ∴∠ACE+∠BDE= 而∠ANE+∠ENB=

∴∠ENB=∠BDE，∠NBE=∠EBN

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BE=BE

∴△EBN≌△EBD ∴BD=BN

∴AB=AN+BN=AC+BD

【解析】

根

据

截

长

补

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短

的

方

法

及

三

角

形

全

等

即

可

得

到

结

论

以

课程小结

1) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋

转”．

2) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段

相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

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