逻辑连接词(高考题节选,附答案)

第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

A级 基础达标演练

(时间：40分钟 满分：60分)

一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列命题中的假命题是 A．∃x0∈R，lg x0＝0 C．∀x∈R，x3＞0

( )．

B．∃x0∈R，tan x0＝1 D．∀x∈R,2x＞0

π

解析 对于A，当x0＝1时，lg x0＝0正确；对于B，当x0＝时，tan x0＝1，正确；对于

4C，当x＜0时，x3＜0错误；对于D，∀x∈R,2x＞0，正确． 答案 C

2．(2012·杭州高级中学月考)命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是 A．∃x0＞0，x20＋x0＞0 C．∀x＞0，x2＋x≤0

B．∃x0＞0，x20＋x0≤0 D．∀x≤0，x2＋x＞0

( )．

2＋x≤0. 解析 根据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：∃x0＞0，x00

答案 B

3．(2012·郑州外国语中学月考)ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是( )． A．0＜a≤1 C．a≤1

B．a＜1

D．0＜a≤1或a＜0

解析 (排除法)当a＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方 程有两个相等的负实根，可以排除B，故选C. 答案 C

4．(2012·合肥质检)已知p：|x－a|＜4；q：(x－2)(3－x)＞0，若綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为

( )．

A．a＜－1或a＞6 C．－1≤a≤6

B．a≤－1或a≥6 D．－1＜a＜6

解析 解不等式可得p：－4＋a＜x＜4＋a，q：2＜x＜3，因此綈p：x≤－4＋a或x≥ 4＋a，綈q：x≤2或x≥3，于是由綈p是綈q的充分不必要条件，可知2≥－4＋a且4 ＋a≥3，解得－1≤a≤6. 答案 C

a

5．若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是

xA．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数 B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数 C．∃a∈R，f(x)是偶函数 D．∃a∈R，f(x)是奇函数

( )．

解析 对于A只有在a≤0时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立；对于B，如果a≤0 就不成立；对于D若a＝0，则f(x)为偶函数了，因此只有C是正确的，即对于a＝0时 有f(x)＝x2是一个偶函数，因此存在这样的a，使f(x)是偶函数． 答案 C

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．(2012·西安模拟)若命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．

2

解析 因为“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则“∀x∈R,2x－3ax＋9≥0”为真

命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤22. 答案 －22≤a≤22

7．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：

1

＞1，若綈q且p为真，则x的取值范围是________． 3－x

x－2

解析 因为綈q且p为真，即q假p真，而q为真命题时，＜0，即2＜x＜3，所以

x－3q假时有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，

x＞1或x＜－3，由得x≥3或1＜x≤2或x＜－3， x≥3或x≤2，

所以x的取值范围是x≥3或1＜x≤2或x＜－3. 故填(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)． 答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)

8．(2012·南京五校联考)令p(x)：ax2＋2x＋a＞0，若对∀x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是________． 解析 ∵对∀x∈R，p(x)是真命题． ∴对∀x∈R，ax2＋2x＋a＞0恒成立， 当a＝0时，不等式为2x＞0不恒成立， 当a≠0时，若不等式恒成立，

a＞0，则∴a＞1.

2

Δ＝4－4a＜0，

答案 a＞1 三、解答题(共23分)

9．(11分)已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

解 由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题． p：x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1， 所以命题p：a≤1；

q：设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x0∈R使f(x0)＝0， 只需Δ＝4a2－4(2－a)≥0， 即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a≤－2， 所以命题q：a≥1或a≤－2.

a≤1，由得a＝1或a≤－2 a≥1或a≤－2

∴实数a的取值范围是a＝1或a≤－2. 10．(12分)写出下列命题的否定，并判断真假． (1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根； (2)r：有些质数是奇数； (3)s：∃x0∈R，|x0|＞0.

解 (1)綈q：∃x0∈R，x0是5x－12＝0的根，真命题． (2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题． (3)綈s：∀x∈R，|x|≤0，假命题．

B级 综合创新备选

(时间：30分钟 满分：40分)

一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分) 1．下列命题错误的是

( )．

A．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m

＝0无实数根，则m≤0”

B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件 C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

2

D．对于命题p：∃x0∈R，使得x0＋x0＋1＜0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0

解析 依次判断各选项，易知只有C是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命 题中，只要一个为假整个命题为假． 答案 C

22．(★)(2011·广东广雅中学模拟)已知p：∃x0∈R，mx20＋2≤0.q：∀x∈R，x－2mx＋1＞0，若p∨q为假命

题，则实数m的取值范围是 A．[1，＋∞)

( )．

B．(－∞，－1] D．[－1,1]

C．(－∞，－2]

解析 (直接法)∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．由p：∃x∈R，mx2＋2≤0为假， 得∀x∈R，mx2＋2＞0，∴m≥0.①

由q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0为假，得∃x0∈R，x20－2mx0＋1≤0， ∴Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.② 由①和②得m≥1. 答案 A

【点评】本题采用直接法，就是通过题设条件解出所求的结果，多数选择题和填空题都 要用该方法，是解题中最常用的一种方法. 二、填空题(每小题4分，共8分)

3．命题“∃x0∈R，x0≤1或x20＞4”的否定是______________． 解析 已知命题为特称命题，故其否定应是全称命题． 答案 ∀x∈R，x＞1且x2≤4

4．(2012·太原十校联考)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋________．

15

解析 由“∀x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定为假命题，可知命题“∀x∈R，x2－5x＋

21515

a＞0”必为真命题，即不等式x2－5x＋a＞0对任意实数x恒成立． 2215

设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．

2

5155故Δ＝25－4×a＜0，解得a＞，即实数a的取值范围为6，＋∞. 26

15

a＞0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是2

5答案 6，＋∞ 三、解答题(共22分)

5．已知两个命题r(x)：sin x＋cos x＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0.如果对∀x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围．

π

x＋≥－2，∴当r(x)是真命题时，m＜－2. 解 ∵sin x＋cos x＝2sin4又∵对∀x∈R，当s(x)为真命题时，

即x2＋mx＋1＞0恒成立有Δ＝m2－4＜0，∴－2＜m＜2.

∴当r(x)为真，s(x)为假时，m＜－2，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2. 当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－2且－2＜m＜2，即－2≤m＜2. 综上，实数m的取值范围是m≤－2或－2≤m＜2.

111

，2时，函数f(x)＝x＋＞恒成立．如果6．已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈2xcp或q为真命题，p且q为假命题．求c的取值范围． 15

解 由命题p知：0＜c＜1.由命题q知：2≤x＋≤

x211

要使此式恒成立，则2＞，即c＞. c2

又由p或q为真，p且q为假知，p、q必有一真一假， 1

当p为真，q为假时，c的取值范围为0＜c≤. 2当p为假，q为真时，c≥1.

1

0＜c≤或c≥1. 综上，c的取值范围为c2



