《函数的零点存在定理》.doc

一、 教材内容分析

本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数 零点存在性定理。

函数零点是研究当函数/(兀)的值为零时，相应的自变量兀的取值, 反映在函数图象上，也就是函数图象与兀轴的交点横坐标。

市于函数/©)的值为零亦EP/(x) = o,其本身已是方程的形式，因 而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程 /⑴=0有解,则函数/(兀)存在零点,且方程的根就是相应函数的零点, 也是函数图象与尢轴的交点横坐标。顺理成章的，方程的求解问题， 可以转化为求函数零点的问题。这是函数与方程关系认识的第一步。

零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条 件。如果函数y = f(x)在区间［处］上的图象是一条连续不断的曲线，并 且满足/⑷・<0,则函数y = /(x)在区间 M 内至少有一个零点, 但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断。定理的逆命题 不成立。

方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规 律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二 次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情 形；零点存在性的研究，也同样采用了似的方法，同时还使用了 “数 形结合思想”及“转化与化归思想”。

二、 教学目标分析

知识与技能目标：

① 了解函数零点的概念，理解函数零点与对应方程根之间的关系。 ② 理解函数零点的两条性质，初步掌握判断函数零点存在的方法。 ③ 在教学过程中渗透数形结合思想,在函数与方程，不等式的联系中 体会数学中的转化思想。

过程与方法目标：经历“类比一一归纳一一应用”的过程，培养 学生分析问题探究问题的能力，感悟从具体到抽象的研究方法，培养 学生的归纳概括能力。

情感态度与价值观目标：培养学生自主探究，合作交流的能力， 严

谨的科学态度。

三、 教学重点、难点分析

教学重点:①函数零点的定义；②函数零点、函数对应方程的实 根、函数图像与X轴交点之间的关系；③函数零点存在性判定定理。

教学难点:探究发现函数零点存在性判定定理，及利用函数的图 像和性质判别函数零点的个数。

四、 教学支持条件分析(即教法与学法分析)

在教法上，借助多媒体和几何画板软件，采用“启发一探究一讨 论”的教学模式。充分发挥教师的主导作用，引导、启发、充分调动 学生学习的主动性，让学生真正成为教学活动的主体。

五、 教学过程设计

教学 环节 教学内容 师生互动 生：口答零点的定义，零点与根的关系一 师：生：函数y= ?+4x- 5的零点有2个，分 别为设计意图 1. 函数零点的概念一 系. 2. 函数零点与方程根的 关回顾零点的求法. 复习回 顾3. 实例探究一 -5, 1 提出 问题 己知函数y二”+4x_5,则 其零点有儿个？分别为 多少？ 回顾IH知， 引入新知 区间，由特殊到 一1.探究函数J = X2 4- 4%- 5师：引导学牛利用图象观察零点的所在 的零点所在区间及零点 存在说明区间端一般収整数._ 示例探 究区间的端点函数值 的止负情生：零点-5e(_6, -4)_ 引入 课题 况的关系 零点 1 e(0, 2). 且/(-6) */(-4)<0. 般，归纳 一般结论， 引入零点 存在性定 理 /(0) -/(2)<0 师：其它函数的零点是否具有相同规律 呢？观察下列函数的零点及零点所在区 间・. ®f(x) = 2x- 1, _ ®f(x) = 10g2(X - 1)_ 生：函数/(%) = 2x- 1的零点为-G (0,1) 2 且/(0)/(1)<0.1 函数/⑴=log2(x - 1)的零点为2e (］,3)且/(1)/(3)<0 师生合作分析，并剖析定理屮的关键词. ①连零点存在性定理一 如果函数续不断. y = /(兀)在区间 S，勿上的图象是连续不 断的一条曲线，师：由于图象连续不断，_ 若/(67)>O, 发现 定理 并且有f (a) -f(b)<0那么,函/(Z?)<0,则 y=f(x)的图象 将从兀轴上方变化数 y =/(x)在区间［at b］内到下方，这样必通过兀 轴，即与兀轴有交点 有 零点，即存在b), 使得/(c) 形成定理， 分析关键 词，了解定 理. = 0这个c也就 是方程f(x) = 0的根 师: 函数 y -f(x) = x2-ar + 2 在(0, 3)内， r 2(1) 函数在区间［a, b\\ 上①个零点.. 彳 的图象连续不断，又它 在区寸1个零点，分别求。的取值范围.. 间［a, b］端点的函数 值异②彳 号,则函数在［a, b］ 上一定①/匕)在(0, 1)内有2个零点，则其 Xz 生: 存在零点一 定理的理解一 (2) 函数值在区间［d, 刃上连续且存在零点，则 它在深化 理解 区间［a,刃端点的函 数值可能异号也可能同 号一 图象如下1 通过实例. 分析，从而 进一步理 解一 定理，深化 定理. . (3) 定理只能判定零点 的存在性，不能判断零点 的个数 7(0)>0 /(3) > 0 A>0 0<--<3 、 2 则* =>-/?<«< -2>/2 ㈡在(0, 3)内有1个零点_ ②J/(3)<0 i 3 师生合作探求解题思路，老师板书解答 过程. 应用举 例 例1求函数f (x) = lnx + 2r-6例1解：用计算器或计算机作出x,/(x) 的对应师生合作 交的零点的个数. 值表和图象. 流，体会 定理的应 用 X 3 4 5 1 2 )-4 -1.0369 1.0986 3.3863 5.6094 X 6 7 8 9 fM 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 y 14 12 10 « 6 4 2 2 -4 -6 / i \" * f() ■ 由表和图可知 (2)・ /(3)<0, f (2)<0, /(3)>0,则/ 这说明3)内有零点H 函数/(x)在区间(2, 丸于函数f (0, +<»)内是增 (朗在定义域 函数，所以它仅有一个零 点. 练习1•利用信息技术作 出函学生尝试动手练习，老师借助计算机作 图，数的图象，并指出下 列函数师生合作交流分析，求解问题. 零点所在的大致 区间： 3练习1解:(1)作出函数图象，因为/(I) =1>0, 3/(1,5 ) =-2.875<0 所以 f(x) = -x -3x + 5在区(1) f(x) = -x -3x + 5 ； (2) /(x) = 2x *ln(x- 2) 一 间(1, 1.5)上有一个零点. 又因为/U)是(-00,2)上的减函数，所以 尢)二』一3.丫 + 5在区间3； (1, 1.5)上有且只 有一个零点. x(3) f(x)=e-' +4x-4； (2) 作出函数图象,因为夬3)<0, .A4) >0,所(4) /(x) = 3 (x + 2) (x- 以 fix)=2x ・ ln(x-2)-3 在区间(3, 4)上有一个练习巩 固 3)(兀 + 4) + x. 零点. 尝试学生 动手模仿 练习，老师 引导、启 发，师生合 作完成问 题求又因为J(x)=2x・ln(x-2) -3在⑵2)上是 增函解，从 而固数，所以7W在(2,+oo)上有且仅有 一个(3, 4)化知 识与方上的零点 法， 提升思(3) 作出函数图象，因为戏0)<0,人1) >0,所维 能力. 以+4.v- 4 在区间(0, 1)上有一个零点 又因为心)+ 4x - 4在(—,+oo)上是 增函数，所以犬兀)在(-8,+00)上有且仅有 一个零点. (4) 作出函数图彖，因为/(-4)<0,/(-3) >0, /(-2)<0, /(2)<0, /(3)>0,所以 f(x) = 3 (x + 2) (x - 3) (x + 4) + x 在(-4, -3), (-3,-2), (2, 3)上各有一个零点 1. 数形结合探究函数零 占 2. 应用定理探究零点及 存

归纳 总结

在区间.

学会整理 知识，培养

学生总结师生完善补充

自我归纳 知识的能

3. 定理应用的题型：判 定

零点的存在性及存在 区间.

课后练 习

3.1第二课吋习案

学生自主完成

整合知识, 提升能力

六、教学反思

教学的重点是方程的根与函数零点的关系及零点存在性定理的 深入理解与应用。对于各个问题学生可以在教师的引导下得到有效的 答案，可以针对的解决相应问题。

以二次方程及相应的二次函数为例，引入函数零点的概念，说明 方程的根与函数零点的关系，学生并不会觉得困难。学生学习的难点 是准确理解零点存在性定理，并针对具体函数（或方程），能求出存 在零点（或根）的区间。

准确把握好学生自我探索与教师适当指导的关系始终是最难解 决的问题，这需要教师长期对学生的了解和丰富教学经验的积累。